정규분포 중심에 대한 검정력
통계
가설검정
정규분포 중심에 대한 단측 가설검정에서 검정력(Power of Test)을 이론과 수식으로 유도합니다.
질문
\(x_1, \cdots, x_n\)이 정규분포 \(N(\mu, \sigma)\) 로부터의 임의표본인 경우에서, \[H_0: \mu = 0 \quad H_1: \mu > 0\] 를 검증하는 케이스를 생각해본다. 이때 \(\sigma\) 가 알려진 상황이라고 한다. 검정통계량 \(T = \frac{\bar{X}}{\sigma/\sqrt{n}}\) 에 대해 기각역을 \(R = \{T > z_{\alpha}\}\) 로 설정한다. 이 경우 \(\mu = \delta\) 에서의 검정력은?
풀이
\[\pi(\delta) = P_{\delta}(T \in R) = P_{\delta}\left(\frac{\bar{X}}{\sigma/\sqrt{n}} > z_{\alpha}\right)\]
\(\delta\) 에서, \(\bar{X} \sim N(\delta, \sigma^2/n)\) 이다. 표준화하면,
\[= P\left(Z > z_{\alpha} - \frac{\delta}{\sigma/\sqrt{n}}\right) = 1 - \Phi\left(z_{\alpha} - \frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)\]
\(n\) 이 커질수록, \(\delta \neq 0\) 인 경우 검정력이 1에 가까워진다.