정규분포 중심에 대한 검정력

질문

$x_1,\cdots ,x_n$이 정규분포 $N(\mu ,\sigma )$ 로부터의 임의표본인 경우에서, $$H_0:\mu =0H_1:\mu >0$$ 를 검증하는 케이스를 생각해본다. 이때 $\sigma$ 가 알려진 상황이라고 한다. 검정력 함수는 어떻게 구할까?

풀이

유의수준 $\alpha$ 에서의 기각역은 $$\mathrm{R}=\{t|Z\ge z_{\alpha }\}$$ 이다. 이때 $Z$는 표본분포의 표준정규분포 변환 $Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$ 이며, $z_{\alpha }$ 는 표준정규분포에서 상위 $\alpha$ 분위수이다.

기각역에 $Z$가 속한다는 의미는 $H_0$ 하에서 나올 수 있는 결과와는 동떨어진 $Z$가 산출되었으므로, $H_0$을 기각하겠다는 것이다.

이때, $H_0$이 실제 참임에도 $H_0$을 기각하거나, $H_1$이 실제 참임에도 $H_1$을 기각하는 오류가 발생한다.

검정력은 실제 $H_1$가 참일 때, $H_0$을 기각할 확률을 의미한다. 즉, 대립가설이 옳을 때 대립가설을 지지할 확률이다.

수식으로는, $$P(H_0\text{를 기각}|\text{under}{H}_1)$$ 이다.

이전에 설정한 기각역을 참고하여 수식을 유도하면,

$$\begin{array}{rl}(Power)& =P(H_0\text{를 기각}|\text{under}{H}_1)\\ & =P(Z\ge z_{\alpha }|\text{under}{H}_1)\\ & =P(\frac{\overline{X}}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\ge Z_{\alpha })\\ & =P(\frac{\overline{X}-\mu +\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\ge Z_{\alpha })& & \leftarrow H_1:\mu >0\\ & =P(Z\ge Z_{\alpha }-\frac{\sqrt{n}}{\sigma }\mu )(:=\pi (\mu ))\end{array}$$

즉, 샘플의 크기 $n$과 $\sigma$가 주어졌을 때, $\mu$에 대한 함수임을 알 수 있다.

참고자료

허명회, (2014), <응용데이터분석>, 자유아카데미, 7장.

Wikipedia contributors ,(2023, October 16), Power of a test, Wikipedia.