정규분포 중심에 대한 검정력

질문

\(x_1, \cdots, x_n\)이 정규분포 \(N(\mu, \sigma)\) 로부터의 임의표본인 경우에서, \[H_0: \mu = 0 \quad H_1: \mu > 0\] 를 검증하는 케이스를 생각해본다. 이때 \(\sigma\) 가 알려진 상황이라고 한다. 검정력 함수는 어떻게 구할까?

풀이

유의수준 \(\alpha\) 에서의 기각역은 \[\mathrm{R} = \{t | Z \geq z_{\alpha} \}\] 이다. 이때 \(Z\)는 표본분포의 표준정규분포 변환 \(Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\) 이며, \(z_\alpha\) 는 표준정규분포에서 상위 \(\alpha\) 분위수이다.

기각역에 \(Z\)가 속한다는 의미는 \(H_0\) 하에서 나올 수 있는 결과와는 동떨어진 \(Z\)가 산출되었으므로, \(H_0\)을 기각하겠다는 것이다.

이때, \(H_0\)이 실제 참임에도 \(H_0\)을 기각하거나, \(H_1\)이 실제 참임에도 \(H_1\)을 기각하는 오류가 발생한다.

검정력은 실제 \(H_1\)가 참일 때, \(H_0\)을 기각할 확률을 의미한다. 즉, 대립가설이 옳을 때 대립가설을 지지할 확률이다.

수식으로는, \[P(H_0 \text{를 기각}|\text{under} \space H_1)\] 이다.

이전에 설정한 기각역을 참고하여 수식을 유도하면,

\[ \begin{aligned} (Power) &= P(H_0 \text{를 기각}|\text{under} \space H_1) \\ &= P(Z \geq z_{\alpha}|\text{under} \space H_1) \\ &= P(\frac{\bar{X}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \geq Z_\alpha) \\ &= P(\frac{\bar{X}-\mu+\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \geq Z_\alpha) &&\leftarrow H_1: \mu > 0\\ &= P(Z \geq Z_\alpha - \frac{\sqrt{n}}{\sigma} \mu) (:= \pi (\mu)) \end{aligned} \]

즉, 샘플의 크기 \(n\)과 \(\sigma\)가 주어졌을 때, \(\mu\)에 대한 함수임을 알 수 있다.

참고자료

허명회, (2014), <응용데이터분석>, 자유아카데미, 7장.

Wikipedia contributors ,(2023, October 16), Power of a test, Wikipedia.